By Rozencweig

ISBN-10: 2902896700

ISBN-13: 9782902896707

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Fp ) des images d’une base de E. Proposition 5 Soient E un espace vectoriel de dimension finie p, (e1 , e2 , . . , ep ) une base de E et (f1 , f2 , . . , fp ) une famille de vecteurs de F. Il existe une unique application linéaire u de E vers F telle que u(e1 ) = f1 , . . , u(ep ) = fp . Preuve Montrons d’abord l’existence d’une telle application. Définissons l’application u de E vers F qui à tout vecteur x de coordonnées (l1 , l2 , . . , lp ) dans la base (e1 , e2 , . . , ep ) associe le vecteur p li f i .

Soient ak+1 , . . , ap des scalaires tels que ak+1 u(ek+1 ) + ak+2 u(ek+2 ) + · · · + ap u(ep ) = 0 p p ai ei Par linéarité on a u ai ei ∈ Ker(u). Il existe donc des réels a1 , . . , ak tels que = 0, soit i =k+1 i =k+1 p k ai ei = i =k+1 p k ai ei − On a alors ai ei . i =1 i =1 ai ei = 0. Comme la famille (e1 , e2 , . . , ep ) est une base, les réels a1 , a2 , . . , ap sont i =k+1 nuls. En résumé, la famille (e1 , e2 , . . , ep ) est une base de E, la famille (e1 , e2 , . . , ek ) est une base de Ker(u) et u(ek+1 ), .

L’application p est donc linéaire. De plus nous avons pour tout vecteur x de E p(x) = p(x) + 0 , ∈F 1 ∈F 2 donc p ◦ p(x) = p p(x) = p(x). 36 ❑ Matrices et applications linéaires ➤ Remarque Nous verrons en exercice que cette propriété caractérise les projections. Proposition 14 Soit E un espace vectoriel tel que E = F1 ⊕ F2 . Soit p la projection sur F1 parallèlement à F2 . On a m(p) = F1 et Ker(p) = F2 . Preuve m(p) ⊂ F1 . Inversement si x ∈ F1 alors x = Par définition de p, x + 0 , p(x) = x et donc x ∈ ∈F 1 m(p).

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by Jason
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